205. Norma delenia

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza normu delenia intervalu ako maximálnu dĺžku jeho deliacich podintervalov a pomocou nej formuluje druhú definíciu Riemannovho integrálu. Číslo S je integrálom, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre všetky delenia s normou menšou ako δ a ľubovoľný výber bodov sa Cauchyho integrálny súčet líši od S o menej než ε. Zmenšenie normy sa líši od vkladania bodov, pretože núti zmenšiť všetky intervaly, nielen niektoré. Definície pomocou zjemňovania delení a pomocou normy sú ekvivalentné, čo vyjadruje veta, ktorej dôkaz sa vynecháva. Výhodou normovej definície je jednoduchšie dokazovanie integrovateľnosti spojitých a monotónnych funkcií, ktoré nasleduje v ďalšom videu.

• - Norma delenia je maximum z dĺžok intervalov x_i − x_{i−1}, teda šírka najširšieho intervalu.
• - Zmenšenie normy zmenší všetky intervaly, kým vkladanie bodov zmenšuje len niektoré.
• - Riemannov integrál ako limita Cauchyho integrálnych súčtov: ∀ε>0 ∃δ>0 takéto, že pre norma delenia < δ a ľubovoľný výber bodov platí |S(f,D,V) − S| < ε.
• - Definícia cez normu delenia je analógiou definície limity.
• - Definícia cez normu a definícia cez zjemňovanie delení sú ekvivalentné (dôkaz sa nerobí).
• - Normová definícia je výhodnejšia na dôkaz integrovateľnosti spojitých a monotónnych funkcií.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.