245. Prerovnanie mení konvergenciu radu

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje, že prerovnanie relatívne konvergentného radu môže zmeniť nielen súčet, ale aj samotnú konvergenciu. Vychádza z alternujúceho harmonického radu Σ(-1)^(n+1)/n, ktorý prerovná tak, že počty po sebe idúcich kladných členov rastú ako nepárne čísla 1, 3, 5, 7, … a za každým blokom nasleduje vždy iba jeden záporný člen. Pre čiastočné súčty s n blokmi plus a n zápornými členmi (index n²+n) využíva súčet prvých n nepárnych čísel rovný n² a vyjadrenie harmonických súčtov cez logaritmy s Eulerovou konštantou. Po úprave vyjde čiastočný súčet ln(2√n·…) s chybou idúcou k nule, ktorý ide do +∞. Keďže podpostupnosť čiastočných súčtov diverguje do nekonečna, diverguje celý prerovnaný rad.

• - Prerovnanie relatívne konvergentného radu môže zmeniť jeho súčet aj úplne zrušiť konvergenciu.
• - Pôvodný rad je Σ(-1)^(n+1)/n; prerovnanie dáva bloky 1, 3, 5, 7, … kladných členov a vždy jeden záporný člen.
• - Na dôkaz divergencie stačí vyšetriť podpostupnosť čiastočných súčtov uzavretú po celých blokoch, s indexom n²+n.
• - Súčet prvých n nepárnych čísel je n², čo určuje počet kladných členov v n blokoch.
• - Harmonické súčty sa vyjadria ako ln(m) + C + ε_m; konštanty C sa odčítajú a chyby sa spoja do člena δ_n → 0.
• - Podpostupnosť čiastočných súčtov ide do +∞, preto prerovnaný rad diverguje.
• - Nadbytok členov jedného znamienka sa už záporné členy nedokážu kompenzovať.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.