241. Abelovo kritérium

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje Abelovo kritérium konvergencie znamienkových radov ako posledné teoretické kritérium tejto témy. Veta tvrdí, že ak rad Σaₙ konverguje a postupnosť (bₙ) je monotónna a ohraničená, tak konverguje aj rad Σaₙbₙ. Dôkaz využíva existenciu konečnej limity B monotónnej ohraničenej postupnosti: postupnosť bₙ − B je monotónna s limitou 0 a čiastočné súčty konvergentného radu Σaₙ sú ohraničené, takže podľa Dirichletovho kritéria konverguje Σaₙ(bₙ − B). Pripočítaním konvergentného radu B·Σaₙ vznikne konvergentný rad Σaₙbₙ. Ako príklad sa ukazuje, že rad Σ (sin nx / n)·(1 + 1/n)ⁿ konverguje pre každé reálne x, pretože rad sin nx / n konverguje a postupnosť (1 + 1/n)ⁿ je rastúca a ohraničená s limitou e.

• - Abelovo kritérium je návod na vytváranie nových konvergentných radov.
• - Veta: Σaₙ konverguje a (bₙ) je monotónna ohraničená ⇒ Σaₙbₙ konverguje.
• - Monotónna ohraničená postupnosť má konečnú limitu B, preto bₙ − B je monotónna s limitou 0.
• - Konvergentný rad má ohraničené čiastočné súčty, čo spolu s bₙ − B umožňuje použiť Dirichletovo kritérium.
• - Rad Σaₙbₙ vznikne ako súčet konvergentných radov Σaₙ(bₙ − B) a B·Σaₙ.
• - Príklad: Σ (sin nx / n)(1 + 1/n)ⁿ konverguje pre každé reálne x, lebo (1 + 1/n)ⁿ je rastúca s limitou e.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.