218. Objem rotačného telesa

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje objem rotačného telesa ako druhú aplikáciu určitého integrálu. Teleso prislúchajúce nezápornej integrovateľnej funkcii f na intervale [a, b] vzniká rotáciou jej grafu okolo osi x. Interval sa rozdelí na časti a teleso sa rozreže na tenké disky, ktorých objem sa odhadne zhora a zdola valcami s polomerom rovným maximu, resp. minimu funkcie f na danom podintervale. Sčítaním vzniknú horný a dolný integrálny súčet funkcie g = πf², ktorá je integrovateľná, a v limite zjemňovania delenia dostaneme vzorec V = π∫ₐᵇ f²(x) dx. Na záver sa uvádza poznámka o dutých telesách, ktorých objem je rozdiel objemov dvoch telies, pričom sa najprv umocňuje a až potom odčíta: V = π∫(f² − g²) dx.

• - Rotačné teleso tvoria body (x, y, z), kde x ∈ [a, b] a y² + z² ≤ f(x)².
• - Objem sa riadi axiómami podobnými ako pri obsahu: monotónnosť, aditivita, objem valca a zhodnosť zhodných telies.
• - Teleso sa rovinami cez delenie intervalu rozreže na disky, ktorých objem sa odhaduje zhora a zdola valcami.
• - Odhady zodpovedajú hornému a dolnému integrálnemu súčtu funkcie g = πf², ktorá je integrovateľná, lebo mocnina integrovateľnej funkcie je integrovateľná.
• - Limitou pri zjemňovaní delenia vychádza V = π∫ₐᵇ f²(x) dx.
• - Objem dutého telesa je V = π∫ₐᵇ (f²(x) − g²(x)) dx, nie π∫(f − g)² dx.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.