Matematická Analýza 2 - Absolútna hodnota Riemanovho integrálu | Prednáška 10 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška najprv rozširuje skôr dokázanú nerovnosť medzi absolútnou hodnotou integrálu a integrálom z absolútnej hodnoty aj na orientovaný integrál, teda na prípad, keď je dolná medza väčšia ako horná. Táto nerovnosť sa použije na dôkaz, že funkcia F(x) definovaná ako integrál od c po x z f je spojitá, dokonca lipšicovsky spojitá, a že v bode, kde je f spojitá, má F deriváciu rovnú f(x0), čím sa dokazuje existencia primitívnej funkcie k spojitej funkcii. Z toho vyplýva Newton-Leibnizov vzorec na výpočet určitého integrálu ako rozdiel hodnôt primitívnej funkcie, pričom sa ukazuje, že platí všeobecnejšie aj pre funkcie, ktoré nie sú spojité, no majú primitívnu funkciu, spolu s príkladmi, kde sa Riemannova integrovateľnosť a existencia primitívnej funkcie rozchádzajú. Na základe Newton-Leibnizovho vzorca sa odvodzujú metóda per partes a veta o substitúcii pre určitý integrál a na záver sa naznačujú aplikácie určitého integrálu na výpočet dĺžky krivky a objemu rotačného telesa.

• Absolútna hodnota integrálu pre orientovaný integrál (dolná medza väčšia ako horná)
• Spojitosť, dokonca lipšicovská spojitosť, funkcie hornej medze integrálu
• Existencia primitívnej funkcie k spojitej funkcii
• Newton-Leibnizov (základný) vzorec výpočtu určitého integrálu
• Metóda per partes pre určitý integrál
• Veta o substitúcii pre určitý integrál
• Aplikácie: dĺžka krivky a objem rotačného telesa

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.