253. Zámena poradia limít

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje vetu o zámene poradia limít. Na príklade postupnosti funkcií f_n(x) = x^n na intervale (0,1) s hromadným bodom 1 ukazuje, že zámena limít vo všeobecnosti neplatí: najprv n→∞ a potom x→1 dá 0, opačné poradie dá 1. Príčinou je, že konvergencia k nulovej funkcii je len bodová, nie rovnomerná. Veta tvrdí, že ak f_n konvergujú rovnomerne ku g na M a pre každé n existuje konečná limita A_n funkcie f_n v bode a, tak existuje konečná limita A postupnosti A_n a rovná sa limite g v bode a. Dôkaz má dva kroky: najprv sa pomocou štvorstranného diagramu a odhadu ε/4 ukáže, že (A_n) je cauchyovská, teda konverguje, a potom sa pomocou odhadu ε/3 dokáže, že jej limita je limitou g v bode a.

• - Zámena poradia limít vo všeobecnosti neplatí, čo ukazuje príklad f_n(x) = x^n na (0,1).
• - V príklade je limita najprv podľa n, potom podľa x rovná 0, opačné poradie dáva 1.
• - Príčinou je, že bodová konvergencia k nulovej funkcii nie je rovnomerná.
• - Veta: pri rovnomernej konvergencii f_n → g a existencii limít A_n platí lim_{x→a} g(x) = lim_{n→∞} A_n.
• - Prvý krok dôkazu: postupnosť (A_n) je cauchyovská, preto konverguje (cez lemu o úplnosti), využíva sa odhad ε/4.
• - Druhý krok dôkazu: limita A postupnosti (A_n) sa rovná limite g v bode a, využíva sa odhad ε/3.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.