215. Substitúcia

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši dva príklady na substitúciu v určitom integráli. V prvom sa počíta integrál od 0 po π z funkcie sin x/(1 + cos² x) pomocou substitúcie t = −cos x, pričom sa prepočítajú aj hranice (z 0 a π na −1 a 1), a podľa Newtonovej-Leibnizovej formuly s primitívnou funkciou arctg t vychádza výsledok π/2. V druhom príklade sa počíta integrál I z x·sin x/(1 + cos² x) na tom istom intervale. Substitúcia t = π − x zachová hranice (iba ich vymení), integrál sa rozdelí na dva členy a vznikne rovnica I = π²/2 − I, z ktorej I = π²/4. Prekvapením je, že sa nikdy nenašla primitívna funkcia, ktorú by sa vo všeobecnosti ani nedalo zapísať elementárnymi funkciami.

• - Pri substitúcii v určitom integráli sa prepočítavajú aj integračné hranice, vhodná je tabuľka zmeny hraníc.
• - Substitúcia t = −cos x prevedie prvý integrál na integrál z 1/(1 + t²) od −1 po 1, teda arctg 1 − arctg(−1) = π/2.
• - Substitúcia t = π − x zachová hranice (len ich vymení) a mení iba znamienko diferenciálu.
• - Využíva sa sin(π − t) = sin t a cos²(π − t) = cos² t, integrál sa rozdelí na π·(výsledok príkladu 9) − I.
• - Na označení integračnej premennej v určitom integráli nezáleží, preto sa druhý člen rovná pôvodnému I.
• - Z rovnice I = π²/2 − I vychádza I = π²/4 bez hľadania primitívnej funkcie a bez použitia Newtonovej-Leibnizovej formuly.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.