114. Príklady na rozklad na parciálne zlomky

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje na dvoch príkladoch, ako rozložiť rýdzo racionálnu funkciu na parciálne zlomky a následne nájsť jej primitívnu funkciu. V prvom príklade, funkcii (x+3)/(x²(1+x²)), sa využije trik: keďže sa činitele v menovateli líšia o konštantu 1, rozklad vznikne rozdielom dvoch zlomkov a zvyšok sa dopočíta jednoduchým rozdelením. Druhý príklad, (3x²+3x+2)/((x−1)(x+1)²), sa rieši štandardným postupom s neurčitými koeficientmi A, B, C, pričom pri dvojnásobnom koreni sa zapisujú zlomky všetkých násobností. Konštanty sa nezískavajú sústavou rovníc, ale dosadzovaním vhodných hodnôt x (1, −1, 0), čo je možné vďaka spojitosti polynómov. Výsledná primitívna funkcia obsahuje logaritmy a člen 1/(x+1), pri druhom príklade s konštantou po častiach definovanou pre body nespojitosti.

• - Každá rýdzo racionálna funkcia sa dá rozložiť na súčet konečného počtu parciálnych zlomkov.
• - Ak sa činitele v menovateli líšia o 1 a čitateľ je 1, rozklad vznikne ako rozdiel dvoch zlomkov.
• - Nerozložiteľný kvadratický výraz x²+1 dáva parciálny zlomok tvaru (Bx+C)/(x²+1), ktorého integrál vedie na logaritmus a arkustangens.
• - Pri viacnásobnom koreni sa zapisujú parciálne zlomky všetkých násobností od najvyššej po prvú.
• - Rovnosť polynómov po vynásobení menovateľmi platí pre všetky x, takže sa dajú dosadiť korene menovateľa a získať koeficienty bez sústavy rovníc.
• - Druhý príklad vedie na rozklad 2/(x−1) − 1/(x+1)² + 1/(x+1).
• - Primitívna funkcia je 2ln|x−1| + 1/(x+1) + ln|x+1| + C, kde C je konštanta po častiach na intervaloch bez bodov nespojitosti.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.