260. Rovnomerná konvergencia mocninového radu

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje, že mocninový rad s polomerom konvergencie R konverguje rovnomerne na každom uzavretom intervale [a−δ, a+δ] pre 0 < δ < R, hoci na celom intervale konvergencie to väčšinou neplatí. Dôkaz využíva Weierstrassovo majorantné kritérium, pretože v bode a+δ rad konverguje absolútne a jeho členy tak majorizuje konvergentný číselný rad. Ďalej sa ukazuje, že rad získaný integrovaním a rad získaný derivovaním člen po člene majú rovnaký polomer konvergencie, čo vyplýva z Cauchyho–Hadamardovej vety a limít n-tých odmocnín 1/(n+1) a n rovných 1. Z rovnomernej konvergencie vyplýva spojitosť súčtu a možnosť integrovať aj derivovať mocninový rad člen po člene vo vnútri intervalu konvergencie.

• - Mocninový rad konverguje rovnomerne na každom uzavretom podintervale [a−δ, a+δ] intervalu konvergencie.
• - Na celom otvorenom intervale konvergencie rovnomerná konvergencia väčšinou nemusí platiť.
• - Dôkaz sa opiera o Weierstrassovo majorantné kritérium a absolútnu konvergenciu radu v bode a+δ.
• - Rad, jeho integrál a jeho derivácia (člen po člene) majú rovnaký polomer konvergencie.
• - Súčet mocninového radu je spojitá funkcia na intervale (a−R, a+R).
• - Vo vnútri intervalu konvergencie možno mocninový rad integrovať aj derivovať člen po člene.
• - V krajných bodoch intervalu konvergencie tieto vlastnosti nemusia platiť.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.