229. Cauchyho kritérium

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje Cauchyho (Košiho) odmocninové kritérium konvergencie radov s nezápornými členmi. Ak je limes superior n-tej odmocniny z a_n menší ako 1, rad konverguje, pretože od istého indexu platí a_n ≤ q^n pre vhodné q < 1 a rad sa porovná s geometrickým radom. Ak nerovnosť n-tá odmocnina z a_n ≥ 1 platí pre nekonečne veľa indexov, členy radu nekonvergujú k nule a rad diverguje. Limitná verzia s limitou k vyplýva z všeobecnej. Kritérium sa uplatní na príklad so striedajúcimi sa základmi 1/5 a 1/7, kde d'Alembertovo kritérium zlyhalo: limes superior je 1/5 < 1, takže rad konverguje.

• - Cauchyho kritérium platí pre rady s nezápornými členmi, pričom nulové členy nevadia, lebo sa nedelí.
• - Ak limsup n-tej odmocniny z a_n < 1, rad konverguje.
• - Ak n-tá odmocnina z a_n ≥ 1 pre nekonečne veľa n, rad diverguje, lebo nie je splnená nutná podmienka a_n → 0.
• - Dôkaz konvergencie využíva porovnanie s geometrickým radom q^n, kde q leží medzi limsup a 1.
• - Limitná verzia: ak existuje limita k, pre k < 1 rad konverguje a pre k > 1 diverguje.
• - V príklade s členmi 1/5, 1/7², 1/5³, … limita odmocnín neexistuje, ale limsup = 1/5 < 1, preto rad konverguje.
• - Cauchyho kritérium je v niektorých prípadoch silnejšie než d'Alembertovo, porovnanie síl kritérií príde v ďalšej prednáške.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.