Matematická Analýza 2 - Riemanovsky Integrovateľné Funkcie | Prednáška 8 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Matematickej analýzy 2 sa zaoberá zavedením Riemannovho integrálu prostredníctvom dolných a horných integrálnych súčtov. Prednášajúci pripomína pojem delenia intervalu a normy delenia, dokazuje, že každý dolný integrálny súčet je menší alebo rovný každému hornému integrálnemu súčtu, a z toho odvodzuje, že supremum dolných súčtov (dolný integrál) je vždy menšie alebo rovné infimu horných súčtov (horný integrál). Na záver definuje Riemannovu integrovateľnosť ako rovnosť dolného a horného integrálu.

• Delenie intervalu [a,b] a norma delenia (najdlhší deliaci podinterval) určujú jemnosť rozdelenia
• Dolný integrálny súčet vzniká súčtom súčinov dĺžky podintervalu a infima funkcie na ňom, horný analogicky so suprémom
• Kľúčová veta: pre ľubovoľné delenia D1, D2 platí dolný súčet(D1) ≤ horný súčet(D2)
• Dôkaz postupuje fixovaním jedného delenia a využitím vlastností suprema/infima ako najmenšieho horného/najväčšieho dolného ohraničenia
• Dolný integrál sa definuje ako supremum množiny všetkých dolných integrálnych súčtov cez všetky delenia
• Horný integrál sa definuje ako infimum množiny všetkých horných integrálnych súčtov
• Pre každú ohraničenú funkciu na [a,b] platí dolný integrál ≤ horný integrál
• Funkcia je Riemannovsky integrovateľná práve vtedy, keď sa dolný a horný integrál rovnajú

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.