121. Horný a dolný integrálny súčet

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza definíciu dolného a horného integrálneho súčtu pre ohraničenú funkciu na intervale ⟨a, b⟩ pri danom delení D. Na každom deliacom intervale sa určí infimum m_i a supremum M_i funkcie, pričom minimum a maximum nemusia existovať, ale z ohraničenosti existujú infimum a supremum. Dolný súčet je suma m_i·(x_i − x_{i−1}) a horný suma M_i·(x_i − x_{i−1}). Na príklade f(x) = x³ na ⟨0, 2⟩ s ekvidištančným delením sa využije rastúcosť funkcie a vzorec pre súčet tretích mocnín, ktorý sa ilustruje grafickým dôkazom. Výsledkom je horný súčet 4(n+1)²/n² a dolný súčet 4(n−1)²/n².

• - Funkcia už nemusí byť spojitá ani nezáporná, stačí ohraničenosť na intervale ⟨a, b⟩.
• - Pri delení D sa na každom podintervale určí infimum m_i a supremum M_i funkcie.
• - Dolný integrálny súčet: suma m_i·(x_i − x_{i−1}), súčet obsahov obdĺžnikov v menšom útvare E.
• - Horný integrálny súčet: suma M_i·(x_i − x_{i−1}), rovnaké šírky, ale väčšie výšky.
• - Pre rastúcu funkciu x³ je supremum v pravom a infimum v ľavom krajnom bode podintervalu.
• - Využíva sa vzorec 1³ + 2³ + … + n³ = n²(n+1)²/4, ktorý ukazuje aj grafický dôkaz zo štvorcov.
• - Pre x³ na ⟨0, 2⟩ s n rovnakými časťami vychádza horný súčet 4(n+1)²/n² a dolný súčet 4(n−1)²/n².

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.