202. Newton-Leibnizova formula

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje Newtonovu-Leibnizovu formulu, teda základnú vetu integrálneho počtu: ak je funkcia f integrovateľná na intervale ⟨a, b⟩ a F je k nej primitívna funkcia, potom určitý integrál z f sa rovná F(b) − F(a). V dôkaze sa využíva definícia integrovateľnosti cez Cauchyho integrálne súčty pri zjemňovaní delenia. Na každom podintervale delenia sa použije Lagrangeova veta o strednej hodnote, čím sa vyberú body, pre ktoré sa Cauchyho súčet zteleskopuje na F(b) − F(a). Keďže rozdiel tohto čísla a integrálu je menší ako každé kladné epsilon a od epsilon nezávisí, musí byť nulový. Na príklade integrálu z x³ na intervale ⟨0, 2⟩ s výsledkom 4 sa ukazuje, o koľko je výpočet jednoduchší než pomocou integrálnych súčtov.

• - Newtonova-Leibnizova formula: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), kde F je primitívna funkcia k f.
• - Zápis formuly pomocou symbolu [F(x)] s dolnou hranicou a a hornou hranicou b.
• - Dôkaz vychádza z definície integrovateľnosti: Cauchyho integrálny súčet sa pri dostatočne jemnom delení líši od integrálu o menej ako epsilon.
• - Lagrangeova veta o strednej hodnote na každom podintervale určí výber bodov, pre ktorý f(pᵢ)(xᵢ − xᵢ₋₁) = F(xᵢ) − F(xᵢ₋₁).
• - Súčet rozdielov sa zteleskopuje na F(b) − F(a), takže |F(b) − F(a) − ∫f| < ε pre každé ε > 0, a teda sa rovná nule.
• - Príklad: ∫₀² x³ dx = [x⁴/4]₀² = 4, čo je oveľa jednoduchšie než výpočet cez horné, dolné a Cauchyho súčty.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.