262. Príklad na Abelovu vetu

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje využitie Abelovej vety na výpočet súčtu číselného radu Σ (−1)^n/(2n+1), ktorý konverguje podľa Leibnizovho kritéria. Na začiatku sa vytvorí pomocný geometrický rad Σ(−t²)^n so súčtom 1/(1+t²) na intervale (−1, 1). Vďaka rovnomernej konvergencii na uzavretých podintervaloch sa rad integruje člen po člene, čím vznikne mocninový rad Σ (−1)^n x^(2n+1)/(2n+1) rovný arctg x pre všetky x z (−1, 1). Keďže rad konverguje aj v bode x = 1 a arkus tangens je spojitý, Abelova veta umožňuje dosadiť x = 1. Súčet radu je teda arctg 1 = π/4.

• - Zadaný rad Σ (−1)^n/(2n+1) konverguje podľa Leibnizovho kritéria.
• - Pomocný geometrický rad Σ(−t²)^n má súčet 1/(1+t²) pre t z (−1, 1).
• - Rovnomerná konvergencia na intervale [−|x|, |x|] umožňuje integrovať rad člen po člene.
• - Integráciou vznikne rovnosť arctg x = Σ (−1)^n x^(2n+1)/(2n+1) pre x z (−1, 1).
• - Abelova veta dovoľuje dosadiť x = 1, pretože rad konverguje v tomto bode a arctg je spojitý.
• - Súčet radu je arctg 1 = π/4.
• - Polomer konvergencie je obmedzený na 1 kvôli komplexným číslam, kde sa menovateľ 1+t² môže vynulovať.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.