204. Integrovateľnosť 2

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje ekvivalentnú podmienku integrovateľnosti ohraničenej funkcie na intervale [a, b] pomocou horných a dolných integrálnych súčtov: funkcia je integrovateľná práve vtedy, keď pre každé ε > 0 existuje delenie D, pri ktorom je rozdiel horného a dolného integrálneho súčtu menší ako ε. V takom prípade sa supremum dolných súčtov, infimum horných súčtov a hodnota integrálu rovnajú. Dôkaz využíva nerovnosť medzi supremom dolných a infimom horných súčtov, ktorá platí vždy. Implikácia sprava doľava sa dokazuje voľbou spoločného zjemnenia delení z vlastností suprema a infima a odhadom Cauchyho integrálneho súčtu. Opačná implikácia vychádza z definície integrálu pre ε/4 a z porovnania Cauchyho súčtov s hornými a dolnými súčtami. Táto podmienka sa neskôr použije pri dokazovaní integrovateľnosti spojitých a monotónnych funkcií.

• - Ohraničená funkcia f je integrovateľná na [a, b] práve vtedy, keď pre každé ε > 0 existuje delenie D s U(f, D) − L(f, D) < ε.
• - Pri integrovateľnosti sa supremum dolných súčtov rovná infimu horných súčtov a rovná sa integrálu z f.
• - Vždy platí sup L(f, D) ≤ inf U(f, D), nezávisle od integrovateľnosti, lebo každý dolný súčet je najviac taký ako ľubovoľný horný súčet.
• - Dôkaz implikácie (⇐): z podmienky vyplýva rovnosť suprema a infima, ktorú označíme S; spoločné zjemnenie delení D1 a D2 dáva dolný súčet > S − ε a horný súčet < S + ε.
• - Cauchyho integrálny súčet leží medzi dolným a horným súčtom, a preto sa pri jemných deleniach líši od S o menej ako ε.
• - Dôkaz implikácie (⇒): z definície integrálu pre ε/4 a z porovnania Cauchyho súčtov s dolnými a hornými súčtami vyjde U − L < ε.
• - Táto podmienka je základným nástrojom na dokazovanie integrovateľnosti spojitých a monotónnych funkcií.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.