257. Mocninové rady

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza mocninové rady ako rady tvaru súčet a_n(x − a)^n so stredom a a koeficientmi a_n. Ako príklady uvádza už známe rady x^n/n so súčtom −ln(1 − x) na (−1, 1) a x^n/n! so súčtom e^x. Každý mocninový rad konverguje aspoň v strede, kde je jeho súčet a_0. Na príklade radu súčet (n+1)x^n sa pomocou Cauchyho kritéria určí obor konvergencie (−1, 1), pričom v krajných bodoch rad diverguje, lebo nie je splnená nutná podmienka. Súčet sa nájde zámenou derivácie a sumy pri geometrickom rade súčet x^(n+1) = x/(1 − x); zámena je oprávnená rovnomernou konvergenciou na intervale [−δ, δ] cez Weierstrassovo majorantné kritérium. Výsledný súčet je 1/(1 − x)^2.

• - Mocninový rad má tvar súčet a_n(x − a)^n, kde a je stred a a_n sú koeficienty.
• - Každý mocninový rad konverguje aspoň v strede a, kde sa jeho súčet rovná a_0.
• - Obor konvergencie radu súčet (n+1)x^n sa určí Cauchyho kritériom: limita je |x|, teda konvergencia pre |x| < 1.
• - V bodoch x = 1 a x = −1 rad diverguje, pretože sčítance nemajú limitu 0; obor konvergencie je (−1, 1).
• - Súčet sa počíta derivovaním geometrického radu súčet x^(n+1) = x/(1 − x) = −1 + 1/(1 − x) člen po člene.
• - Zámena derivácie a sumy je oprávnená rovnomernou konvergenciou na [−δ, δ], kde |x| < δ < 1, s majorantou (n+1)δ^n.
• - Súčet radu súčet (n+1)x^n je 1/(1 − x)^2 pre x z (−1, 1).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.