243. Prerovnanie radov

Zhrnutie prednášky

Prerovnanie radu je zmena poradia sčítancov, formálne definovaná pomocou bijektívneho zobrazenia φ množiny prirodzených čísel na seba, pričom b_n = a_φ(n). Prednáška formuluje a dokazuje vetu, že prerovnanie nemení konvergenciu ani súčet absolútne konvergentného radu. Dôkaz najprv využíva, že pre rady s nezápornými členmi sa zachovávajú množiny konečných súčtov, a teda aj konvergencia a súčet. Všeobecný absolútne konvergentný rad sa potom rozloží na rozdiel radu kladných a radu záporných členov, ktoré sa prerovnaním transformujú na zodpovedajúce rady, a rovnosť súčtov z toho vyplýva. Pri relatívne konvergentných radoch táto veta neplatí, čo sa ukáže na príkladoch v ďalšej časti.

• - Prerovnanie radu je zmena poradia sčítancov pomocou bijekcie φ: N → N, kde b_n = a_φ(n).
• - Prerovnaný rad obsahuje tie isté sčítance, len na iných miestach.
• - Veta: prerovnanie absolútne konvergentného radu je tiež absolútne konvergentné a má rovnaký súčet.
• - Pre rady s nezápornými členmi sa zachovávajú množiny konečných súčtov, preto platí zhoda konvergencie aj súčtu.
• - Všeobecný rad sa rozkladá na a_n⁺ a a_n⁻; prerovnanie zachová znamienka, takže a_n⁺ prejde na b_n⁺ a a_n⁻ na b_n⁻.
• - Rovnosť súčtov vyplýva z rozdielu S − T, pričom všetky rady musia konvergovať.
• - Pri relatívne konvergentných radoch veta neplatí, pretože by vznikol neurčitý výraz ∞ − ∞.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.