102. O konštantu

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje dva súvisiace príklady na primitívne funkcie k f(x) = 1/(1+x²). Funkcie F(x) = arctg x a G(x) = −arctg(1/x) sú obe primitívne k f na intervale (0, ∞), preto sa podľa vety z minulej prednášky líšia o konštantu; dosadením x = 1 vychádza G(x) = F(x) − π/2. Tie isté funkcie sú primitívne aj na množine ℝ \ {0}, ktorá je zjednotením dvoch intervalov, no na intervale (−∞, 0) platí G(x) = F(x) + π/2, takže konštanty sú rozdielne. Rozdiel F a G preto na celej množine nie je konštanta, čo ukazuje, že veta o primitívnych funkciách platí len na intervaloch. Grafy to potvrdzujú: G má v nule nespojitosť a vzhľadom na F je posunutá o π/2 nadol vpravo a nahor vľavo.

• - Derivácia arctg x je 1/(1+x²); derivácia −arctg(1/x) vychádza cez zloženú funkciu tiež 1/(1+x²).
• - Dve primitívne funkcie k tej istej funkcii na intervale sa líšia o konštantu, ktorú určíme dosadením jedného bodu.
• - Na intervale (0, ∞) platí G(x) = F(x) − π/2, pretože arctg 1 = π/4.
• - Na intervale (−∞, 0) platí G(x) = F(x) + π/2, takže konštanta je iná ako na kladnej polosi.
• - Na množine ℝ \ {0}, ktorá nie je interval, sa F a G o jednu konštantu nelíšia, veta teda platí iba na intervaloch.
• - Graf G je nespojitý v nule a posunutý oproti F o ∓π/2, rast oboch funkcií je však rovnaký.
• - Rozdiel primitívnych funkcií, ktorý je konštantný po častiach, vedie k pojmu schodovité funkcie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.