115. Všeobecná goniometrická substitúcia

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši príklad na nájdenie primitívnej funkcie k 1/(2 sin x − cos x + 3) pomocou všeobecnej goniometrickej substitúcie t = tg(x/2) na intervale (−π, π). Pomocou goniometrických identít sa sin x, cos x aj dx vyjadria ako racionálne funkcie premennej t, čím vznikne racionálny integrál. Ten sa po úprave menovateľa na štvorec a druhej substitúcii s = 2t + 1 zredukuje na tabuľkový integrál s výsledkom arctg(1 + 2 tg(x/2)). Tento výsledok je však 2π-periodický a nespojitý v bodoch ±π, preto sa musí pre celé R konštruovať spojitá primitívna funkcia posúvaním jednotlivých vetiev o násobky π a dodefinovaním v styčných bodoch. Nakoniec sa komentuje aj diferencovateľnosť v týchto bodoch.

• - Všeobecná goniometrická substitúcia t = tg(x/2) sa používa pri racionálnych výrazoch so sin a cos v prvej mocnine.
• - Platí sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²) a dx = 2/(1+t²) dt, takže integrand sa stane racionálnou funkciou.
• - Menovateľ sa upraví na (2t+1)²+1, druhá substitúcia s = 2t+1 vedie na integrál ds/(s²+1) = arctg s.
• - Nájdená funkcia arctg(1 + 2 tg(x/2)) je primitívna len na (−π, π) a nie je spojitá na celom R.
• - Podintegrálna funkcia je spojitá na R, lebo menovateľ nikdy nie je nulový (sin a cos nemôžu byť súčasne ±1).
• - Spojitá primitívna funkcia F na R vznikne posunutím vetiev o kπ na intervaloch posunutých o 2kπ a hodnotou π/2 + kπ v bodoch π + 2kπ.
• - Diferencovateľnosť v styčných bodoch plynie z toho, že jednostranné limity derivácie sú rovnaké vďaka 2π-periodicite zadanej funkcie.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.