212. Horná hranica

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza integrál s vymenenými hranicami (obrátením hraníc sa mení znamienko, rovnaké hranice dávajú nulu) a na tomto základe definuje funkciu hornej medze, ktorá zodpovedá obsahovej funkcii z motivačného príkladu. Hlavná veta o integráli ako funkcii hornej hranice tvrdí, že pre integrovateľnú funkciu f je funkcia hornej medze φ spojitá na celom intervale, a to aj keď f spojitá nie je. V každom bode spojitosti f má φ deriváciu rovnú hodnote f v tom bode. Z toho vyplýva, že každá spojitá funkcia má primitívnu funkciu. Dôkaz spojitosti využíva ohraničenosť f konštantou K, aditivitu a monotónnosť integrálu, pričom vychádza odhad |φ(x) − φ(p)| ≤ K|x − p|. Dôkaz derivácie sa začal odhadom podielu (φ(x) − φ(p))/(x − p) − f(p) pomocou spojitosti f v bode p a epsilonu.

• - Pri vymenených hraniciach platí ∫ od b po a = −∫ od a po b, a pri rovnakých hraniciach je integrál 0.
• - Funkcia hornej medze φ(x) = ∫ od c po x f(t) dt je obsahová funkcia; funkcia dolnej medze ψ je jej opakom, ψ = −φ.
• - Ak je f integrovateľná na ⟨a, b⟩, funkcia φ je spojitá na celom intervale, aj keď f má skoky.
• - Spojitosť sa dokáže odhadom |φ(x) − φ(p)| ≤ K|x − p|, kde K ohraničuje |f|.
• - V každom bode p, kde je f spojitá, má φ deriváciu a platí φ′(p) = f(p).
• - Dôsledok: každá spojitá funkcia má primitívnu funkciu, ktorou je práve funkcia hornej medze.
• - Dôkaz derivácie používa vyjadrenie f(p) ako priemeru konštanty na intervale a definíciu spojitosti s epsilonom.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.