242. Konečné súčty

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojem konečného súčtu radu: pre ľubovoľnú konečnú množinu indexov K ide o súčet členov a_k s indexmi z K, pričom čiastočné súčty sú jeho špeciálnym prípadom. Pre rad s nezápornými členmi sa dokazuje, že jeho súčet sa rovná supremu množiny všetkých konečných súčtov. Jedna nerovnosť plynie z toho, že čiastočné súčty medzi konečnými súčtami ležia, druhá z toho, že každý konečný súčet je najviac taký veľký ako čiastočný súčet po najväčší použitý index. Dôsledkom je, že zmena poradia sčítancov v nezápornom rade nemení jeho súčet, a konverguje alebo diverguje rovnako ako pôvodný rad. Pri radoch s premenlivými znamienkami to platiť nemusí, čomu sa venuje nasledujúca časť.

• - Konečný súčet S_K je súčet členov radu s indexmi z konečnej množiny K, nie nutne súvislej od začiatku.
• - Každý čiastočný súčet je konečným súčtom, no nie naopak.
• - Veta 19: súčet radu s nezápornými členmi sa rovná supremu množiny všetkých jeho konečných súčtov.
• - Dôkaz používa dve nerovnosti: čiastočné súčty sú konečné súčty a každý konečný súčet je menší alebo rovný nejakému čiastočnému súčtu.
• - Čiastočné súčty preusporiadaného radu sú konečnými súčtami pôvodného radu.
• - Pri nezáporných radoch zmena poradia sčítancov nemení súčet ani typ (konvergencia/divergencia).
• - Pri radoch s premenlivými znamienkami na poradí záleží, čo sa preberie nabudúce.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.