206. Celková oscilácia

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza celkovú osciláciu funkcie f pri delení D intervalu [a, b] ako rozdiel horného a dolného integrálneho súčtu, čo súvisí s kritériom integrovateľnosti (pre každé ε > 0 existuje delenie s oscilanciou menšou ako ε). Rozpísaním do jednej sumy sa získa vyjadrenie pomocou rozdielov suprema a infima na deliacich intervaloch. Oscilácia na jednom intervale je definovaná ako supremum rozdielov funkčných hodnôt na ňom a celková oscilácia je súčtom oscilácií vynásobených dĺžkami intervalov. Geometricky ide o súčet obsahov obdĺžnikov pokrývajúcich graf funkcie, čo súvisí s Jordanovou mierou nula. Na záver sa ukazuje, že Dirichletova funkcia nie je integrovateľná, pretože jej celková oscilácia je pri každom delení rovná dĺžke intervalu.

• - Celková oscilácia je rozdiel horného a dolného integrálneho súčtu pri delení D.
• - Rozpisuje sa ako súčet (M_i − m_i)·(x_i − x_{i−1}), kde M_i je supremum a m_i infimum na i-tom intervale.
• - Oscilácia na jednom intervale je supremum |f(s) − f(t)| pre s, t z daného intervalu a platí M_i − m_i = ω_i.
• - Celková oscilácia je súčet ω_i·(x_i − x_{i−1}), čo sa využije pri dôkaze integrovateľnosti spojitých a monotónnych funkcií.
• - Súčet predstavuje obsah obdĺžnikov pokrývajúcich graf funkcie; integrovateľnosť znamená pokrytie s ľubovoľne malým obsahom (Jordanova miera nula).
• - Dirichletova funkcia má na každom podintervale osciláciu 1, takže celková oscilácia je vždy rovná dĺžke intervalu (napr. 2 na [0, 2]) a nie je integrovateľná.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.