117. Klasické substitúcie 2

Zhrnutie prednášky

Video ukazuje druhé riešenie príkladu 11, teda výpočet primitívnej funkcie k funkcii odmocnina z (1 + x²), pomocou hyperbolickej substitúcie x = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2. Vďaka identite, že 1 + x² je štvorec výrazu (eᵗ + e⁻ᵗ)/2, odmocnina zmizne a integrál sa zmení na jednoduchý integrál z eᵗ·² + 2 + e⁻²ᵗ, ktorý dáva t/2 + eᵗ·²/8 − e⁻²ᵗ/8. Náročnejšia je spätná substitúcia: z kvadratickej rovnice a² − 2xa − 1 = 0 pre a = eᵗ vychádza t = ln(x + √(x² + 1)). Výsledok sa nakoniec upraví a porovná s riešením z prvého videa, pričom oba tvary sa zhodujú.

• - Substitúcia x = (eᵗ − e⁻ᵗ)/2 (sinus hyperbolický) odstráni odmocninu, lebo 1 + x² = ((eᵗ + e⁻ᵗ)/2)².
• - Diferenciál dx = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2 dt, takže integrand sa zmení na (1/4)(e²ᵗ + 2 + e⁻²ᵗ).
• - Primitívna funkcia v premennej t je t/2 + e²ᵗ/8 − e⁻²ᵗ/8 + C.
• - Spätná substitúcia vyžaduje vyriešiť kvadratickú rovnicu a² − 2xa − 1 = 0 pre a = eᵗ, pričom a > 0.
• - Inverzná funkcia je t = ln(x + √(x² + 1)).
• - Úpravou výrazu (x + √(x²+1))⁻² cez rozšírenie zlomku sa výsledok zhoduje s riešením 1 (tangensová substitúcia).
• - Nevýhodou metódy je zložitá spätná substitúcia, výhodou rýchly výpočet primitívnej funkcie v t.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.