261. Spojitosť súčtu mocninového radu v krajnom bode intervalu konvergencie

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje Abelovu vetu: ak mocninový rad s kladným polomerom konvergencie R konverguje aj v krajnom bode A+R, jeho súčet je v tomto bode zľava spojitý (analogicky pre bod A−R sprava). Substitúciami sa rad najprv upraví na stred 0 a polomer konvergencie 1, čím sa stačí zaoberať limitou f(x) pre x→1⁻. Pomocou čiastočných súčtov s_n a Abelovej sumácie sa f(x) aj súčet s zapíšu v tvare (1−x)·Σ s_n xⁿ, resp. (1−x)·Σ s xⁿ. Rozdiel |f(x) − s| sa potom odhadne rozdelením radu na konečnú časť do indexu n₀ a zvyšok, kde |s_n − s| < ε/2, pričom zvyšok je ohraničený geometrickým radom hodnotou ε/2.

• - Abelova veta: konvergencia mocninového radu v krajnom bode A+R zaručuje ľavú spojitosť súčtu v tomto bode.
• - Analogické tvrdenie platí pre bod A−R, kde je súčet spojitý sprava.
• - Substitúciami t = x − A a t/R sa rad zredukuje na stred 0 a polomer konvergencie 1.
• - Treba dokázať, že limita f(x) pre x→1⁻ sa rovná súčtu s radu Σaₙ.
• - Pomocou čiastočných súčtov sₙ platí f(x) = (1−x)·Σ sₙxⁿ a s = (1−x)·Σ s xⁿ (geometrický rad).
• - Rozdiel |f(x) − s| sa odhaduje rozdelením na členy do n₀ a nad n₀, kde |sₙ − s| < ε/2.
• - Zvyšná časť sa odhadne geometrickým radom hodnotou ε/2, konečná časť sa pre x→1 blíži k nule vďaka faktoru (1−x).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.