116. Klasické substitúcie 1

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši primitívnu funkciu k √(1+x²) tromi rôznymi substitúciami; prvé riešenie používa goniometrickú substitúciu x = tg t pre t z intervalu (−π/2, π/2), ktorá odstráni odmocninu, pretože √(1+x²) = 1/cos t a dx = dt/cos² t. Vznikne integrál 1/cos³ t, ktorý sa rozšírením cos t a úpravou cos⁴ t = (1−sin² t)² prevedie substitúciou s = sin t na racionálnu funkciu 1/(1−s²)². Tá sa rozloží na štyri parciálne zlomky pomocou umocnenia súčtu 1/(1−s) + 1/(1+s). Po integrácii a spätnom dosadení (sin arctg x = x/√(1+x²)) vyjde výsledok s logaritmom, upravený do tvaru bez goniometrických funkcií, aby sa dal porovnať s ďalšími dvoma riešeniami.

• - Substitúcia x = tg t, t ∈ (−π/2, π/2), pokrýva všetky reálne x a ruší odmocninu.
• - Na tomto intervale je cos t kladný, takže √(1+x²) = 1/cos t bez absolútnej hodnoty; dx = dt/cos² t.
• - Integrál 1/cos³ t sa rozšírením cos t a vzťahom cos⁴ t = (1−sin² t)² prevedie substitúciou s = sin t na ∫ ds/(1−s²)².
• - Rozklad na parciálne zlomky: 1/(1−s²) = ½(1/(1−s) + 1/(1+s)), po umocnení na druhú vzniknú štyri zlomky s koeficientom ¼.
• - Integrácia dáva racionálne členy a logaritmus; späť sa dosadzuje s = sin(arctg x) = x/√(1+x²).
• - Výsledok sa upraví na tvar bez sínusov a arkustangensov (člen x√(1+x²) a logaritmus ln(√(1+x²)+x)), aby sa dal porovnať s ďalšími riešeniami.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.