211. Aditivita integrálu

Zhrnutie prednášky

Veta o aditivite Riemannovho integrálu hovorí, že ak bod C leží medzi A a B, funkcia f je integrovateľná na intervale [A, B] práve vtedy, keď je integrovateľná na [A, C] aj na [C, B], pričom platí ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f. Geometricky sa obsah pod grafom na celom intervale skladá z obsahov na dvoch častiach. Dôkaz implikácie sprava doľava využíva zjemňovanie delení: pre ε/2 sa zvolia delenia D₁ a D₂ podintervalov a ich zjednotením vznikne delenie D₀ celého intervalu, v ktorom je C deliacim bodom. Každé zjemnenie D₀ sa potom rozpadne na zjemnenia D₁ a D₂, Cauchyho integrálny súčet sa rozloží na dva súčty a trojuholníkovou nerovnosťou sa získa odhad menší ako ε. Dôsledkom je indukciou rozšírenie na konečne veľa vložených bodov.

• - Aditivita: f je integrovateľná na [A, B] práve vtedy, keď je integrovateľná na [A, C] aj [C, B].
• - Platí rovnosť ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f.
• - Geometricky sa obsah pod grafom na celom intervale skladá z dvoch čiastkových obsahov.
• - Implikácia o integrovateľnosti na podintervaloch plynie z vety 8 a nedokazuje sa; dokazuje sa opačný smer.
• - Dôkaz využíva zjemnenia delení (nie normu delenia) a zjednotenie delení D₁ a D₂ do D₀ s deliacim bodom C pre ε/2.
• - Cauchyho integrálny súčet sa rozloží na dva súčty a trojuholníkovou nerovnosťou sa dostane odhad menší ako ε.
• - Dôsledok: indukciou platí rozklad integrálu na ľubovoľný konečný počet podintervalov A₀ < A₁ < … < Aₘ.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.