109. Príklady na integrovanie metódou po častiach

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši príklady na integrovanie metódou per partes. Najprv sa počíta integrál 1/(a²+x²)² pre nenulovú konštantu a: v čitateli sa pripočíta a odpočíta x², zlomok sa rozdelí na dva integrály, prvý vedie na arkustangens z predchádzajúceho príkladu a druhý sa rieši per partes s využitím substitúcie t = a²+x². Výsledkom je (1/(2a³))·arctg(x/a) + x/(2a²(a²+x²)) + c. Potom sa zavádza zovšeobecnený príklad pre integrál 1/(a²+x²)ⁿ, ktorý sa rieši matematickou indukciou. Prípady n = 1 a n = 2 sú už vypočítané a v indukčnom kroku sa Fₙ₊₁ vyjadrí rekurentne pomocou Fₙ rovnakým trikom s pripočítaním a odpočítaním x².

• - Integrál 1/(a²+x²)² sa rieši trikom: pripočítať a odpočítať x² v čitateli a rozdeliť zlomok na dva integrály.
• - Prvý z integrálov sa po vykrátení zvedie na základný arkustangens: (1/a)·arctg(x/a).
• - Druhý integrál s x v čitateli sa rieši per partes, pričom primitívnu funkciu k x/(a²+x²)² dá substitúcia t = a²+x².
• - Výsledok pre n = 2: (1/(2a³))·arctg(x/a) + x/(2a²(a²+x²)) + c.
• - Všeobecný integrál Fₙ(x) = ∫ dx/(a²+x²)ⁿ sa dokazuje matematickou indukciou vzhľadom na n.
• - Fₙ₊₁ sa vyjadrí rekurentne pomocou Fₙ, takže explicitný vzorec nie je potrebný a každé Fₙ sa dopočíta z predošlých.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.