247. Bodová konvergencia postupnosti funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára poslednú kapitolu o postupnostiach a radoch funkcií a zavádza bodovú konvergenciu postupnosti funkcií. Postupnosť funkcií fn konverguje v bode a z prieniku definičných oborov, ak existuje konečná limita číselnej postupnosti fn(a). Funkcia g(a) = lim fn(a), definovaná na množine D tých bodov, kde limita existuje, sa nazýva bodová (limitná) funkcia a zapisuje sa fn → g. Prvý príklad, fn(x) = (n+1+x)/(n+x) na [0, ∞), má limitnú funkciu g(x) = 1. Druhý príklad, gn(x) = x^n − x^(2n) na [0, 1], konverguje bodovo k nulovej funkcii, hoci sa grafy k limite nepribližujú rovnomerne. Tento rozdiel motivuje neskôr zavedenú rovnomernú konvergenciu.

• - Postupnosť funkcií fn konverguje v bode a, ak existuje konečná limita číselnej postupnosti fn(a).
• - Množina D obsahuje body z prieniku definičných oborov, v ktorých postupnosť konverguje.
• - Bodová (limitná) funkcia g(a) = lim fn(a) sa zapisuje fn → g.
• - Príklad 1: fn(x) = (n+1+x)/(n+x) bodovo konverguje na [0, ∞) k funkcii g(x) = 1.
• - Príklad 2: gn(x) = x^n − x^(2n) na [0, 1] bodovo konverguje k nulovej funkcii (v x = 1 sú všetky hodnoty 0, pre x < 1 platí x^n → 0).
• - Grafy v druhom príklade sa nepribližujú k limite celé rovnako, čo vedie k pojmu rovnomernej konvergencie (zapisuje sa dvoma šípkami).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.