105. Metóda substitúcie 1

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára kapitolu o metódach integrácie a predstavuje metódu substitúcie, ktorá vychádza z obrátenia pravidla o derivovaní zloženej funkcie. Na príklade primitívnej funkcie ku kotangensu sa ukazuje, že ho možno prepísať ako podiel derivácie sínusu a sínusu, čo vedie k výsledku ln|sin x|. Následne je sformulovaná a dokázaná veta: ak F je primitívna k f na intervale I a T je diferencovateľná funkcia s hodnotami v tomto intervale, tak F∘T je primitívna k (f∘T)·T'. Dôkaz spočíva v jednom kroku podľa vety o derivácii zloženej funkcie. Druhý príklad, integrál 1/(√x(1+x)) dx, sa rieši substitúciou T(x)=√x, čím vznikne arkustangens a výsledok 2·arctg(√x) + C.

• - Metóda substitúcie je obrátenie pravidla o derivovaní zloženej funkcie.
• - Kotangens sa prepíše ako cos x / sin x, primitívna funkcia je ln|sin x| + C, pričom absolútna hodnota rozširuje definičný obor.
• - Veta: ak F je primitívna k f a T je diferencovateľná s hodnotami v intervale, tak ∫ f(T(x))·T'(x) dx = F(T(x)) + C.
• - Dôkaz je jednoriadkový: derivácia F(T(x)) je F'(T(x))·T'(x) = f(T(x))·T'(x).
• - Pri hľadaní substitúcie treba v integrande rozpoznať vnútornú funkciu a jej deriváciu.
• - Integrál 1/(√x(1+x)) dx sa rieši substitúciou T(x)=√x, kde f(t)=1/(1+t²) a F(t)=arctg t.
• - Výsledok druhého príkladu je 2·arctg(√x) + C; opačná forma substitúcie bude v nasledujúcom videu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.