240. Príklad na Dirichletovo kritérium

Zhrnutie prednášky

Príklad dokazuje, že rad Σ sin(nx)/n konverguje pre každé reálne x. Majorantné ani podielové a odmocninové kritérium tu nepomáhajú, pretože odhad zhora vedie na harmonický rad, ktorý diverguje. Použije sa preto Dirichletovo kritérium s a_n = sin(nx) a b_n = 1/n, pričom b_n je klesajúca s limitou 0. Ťažiskom je ohraničenosť čiastočných súčtov T_n = sin x + … + sin nx: pre x = 2kπ sú všetky členy nulové, inak sa použije rozdiel kosínusov a teleskopický súčet, z ktorého vyjde T_n = (cos(x/2) − cos((2n+1)x/2)) / (2 sin(x/2)). Odhad |T_n| ≤ 1/|sin(x/2)| nezávisí od n, takže rad konverguje.

• - Majorantné, d'Alembertovo ani Cauchyho kritérium nestačia, lebo odhad 1/n vedie na divergentný harmonický rad.
• - Dirichletovo kritérium: čiastočné súčty a_n sú ohraničené a b_n je monotónna s limitou 0.
• - Voľba a_n = sin(nx), b_n = 1/n; postupnosť 1/n je klesajúca s limitou 0.
• - Pre x = 2kπ sú všetky sínusy nulové, a teda T_n = 0.
• - Pre x ≠ 2kπ sa využije vzorec pre rozdiel kosínusov, 2 sin(x/2)·sin(nx) = cos((2n−1)x/2) − cos((2n+1)x/2), a teleskopické sčítanie.
• - Výsledok T_n = (cos(x/2) − cos((2n+1)x/2)) / (2 sin(x/2)) dáva odhad |T_n| ≤ 1/|sin(x/2)|, nezávislý od n.
• - Ohraničenosť čiastočných súčtov a vlastnosti b_n zaručujú konvergenciu radu pre každé reálne x.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.