213. Per partes pre určitý integrál

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje použitie metódy per partes pre určité integrály na výpočet integrálov I_n = ∫₀^{π/2} sinⁿx dx pre všetky celé n ≥ 0. Najprv sa priamo vypočítajú I₀ = π/2 a I₁ = 1. Potom sa rozpísaním sin^{n+2}x = sinⁿx·(1 − cos²x) a aplikáciou per partes na integrál sinⁿx·cos x·cos x odvodí rekurentný vzťah I_{n+2} = (n+1)/(n+2)·I_n. Pri per partes sa člen bez integrálu dosadzuje do hraníc a tu je nulový. Rekurencia sa nakoniec prevedie na explicitné vzorce zvlášť pre párne a nepárne indexy pomocou dvojfaktoriálov.

• - Per partes pre určité integrály: člen bez integrálu sa dosadí do hraníc.
• - Základné hodnoty: I₀ = π/2 a I₁ = 1.
• - Rekurentný vzťah: I_{n+2} = (n+1)/(n+2)·I_n pre každé n ≥ 0.
• - Trik: sin^{n+2}x = sinⁿx·(1 − cos²x) a per partes s primitívnou funkciou sin^{n+1}x/(n+1).
• - Pre párne indexy: I_{2k} = (2k−1)!!/(2k)!! · π/2.
• - Pre nepárne indexy: I_{2k+1} = (2k)!!/(2k+1)!!.
• - Rekurencia sa rozpadá na párne a nepárne indexy, lebo sa postupuje o dva.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.