246. Riemannova veta o prerovnaní

Zhrnutie prednášky

Riemannova veta o prerovnaní tvrdí, že pre relatívne konvergentný rad a ľubovoľné a ≤ b z rozšírenej množiny reálnych čísel existuje jeho prerovnanie, ktorého čiastočné súčty majú limes inferior rovný a a limes superior rovný b. Rad je teda možné preusporiadať tak, aby mal ľubovoľný súčet, alebo aby divergoval predpísaným spôsobom. Dôkaz je konštruktívny: rad sa rozdelí na nezáporné a záporné členy, pričom oba takto vzniknuté rady divergujú a členy radu idú k nule. Striedavo sa pridávajú kladné členy, kým čiastočný súčet neprekročí b, a záporné, kým neklesne pod a. Pre nekonečné hranice sa prekračujú postupne rastúce prahy, prípadne sa za každý kopček pridá len jediný záporný člen.

• - Relatívne konvergentný rad možno prerovnať tak, aby mal ľubovoľný predpísaný súčet alebo divergoval.
• - Veta: pre a ≤ b (aj nekonečné) existuje prerovnanie s lim inf čiastočných súčtov = a a lim sup = b.
• - Rad sa rozdelí na rad kladných a rad záporných členov; pri relatívnej konvergencii oba divergujú.
• - Nutná podmienka konvergencie (lim aₙ = 0) zaručuje, že prekmity cez hranice sa zmenšujú k nule.
• - Konštrukcia: pridávať kladné členy, kým sa nepresiahne b, potom záporné, kým sa nejde pod a, a opakovať.
• - Pri nekonečných hraniciach sa v k-tom kroku prekročí hodnota k, alebo sa za každý kopček pridá jediný záporný člen.
• - Pre b = +∞ aj a = +∞ rad diverguje do plus nekonečna.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.