251. Weierstrassovo majorantné kritérium

Zhrnutie prednášky

Weierstrassovo majorantné kritérium umožňuje zistiť rovnomernú konvergenciu radu funkcií bez znalosti jeho súčtu. Ak sú funkcie fn na množine M ohraničené nezápornými číslami cn, teda |fn(x)| ≤ cn pre všetky x z M a n prirodzené, a číselný rad Σcn konverguje, tak rad Σfn konverguje rovnomerne na M. V dôkaze sa najprv z číselného majorantného kritéria ukáže absolútna konvergencia v každom bode, čím je dobre definovaná súčtová funkcia g. Potom sa rozdiel |sn(x) − g(x)| odhadne zvyškom číselného radu rn, ktorý ide k nule, a supremum rozdielu teda tiež konverguje k nule. V príklade s funkciami nx/(1 + n⁵x²) sa maximum nájde pomocou derivácie, vyjde cn = 1/(2n^(3/2)) a rad konverguje rovnomerne na R. Pôvodná verzia s n³ zlyhala, lebo majoranty tvorili divergentný rad.

• - Kritérium určuje rovnomernú konvergenciu radu funkcií bez výpočtu jeho súčtu.
• - Predpoklady: |fn(x)| ≤ cn pre všetky x z M a všetky n, pričom Σcn konverguje.
• - Z číselného majorantného kritéria vyplýva absolútna konvergencia v každom bode, takže súčtová funkcia g existuje.
• - Dôkaz odhaduje |sn(x) − g(x)| ≤ rn, kde rn je zvyšok konvergentného číselného radu, a rn → 0.
• - Supremum |sn − g| ide k nule, čo je ekvivalentné s rovnomernou konvergenciou.
• - Majoranty cn sa v príkladoch hľadajú ako maximum |fn| pomocou derivácie.
• - V príklade nx/(1 + n⁵x²) vyjde cn = 1/(2n^(3/2)), rad konverguje a konvergencia na R je rovnomerná, kým pre n³ majoranty tvoria divergentný rad.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.