122. Cauchyho integrálny súčet

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza Cauchyho (v prepise "košiho") integrálny súčet ako alternatívu k hornému a dolnému integrálnemu súčtu, pri ktorej netreba hľadať maximá a minimá na deliacich intervaloch. Pre ohraničenú funkciu f na intervale [a, b], delenie D a výber bodov V (bod p_i leží v i-tom deliacom intervale) je súčet definovaný ako suma f(p_i)·(x_i − x_{i−1}). Takýto súčet vždy leží medzi dolným a horným integrálnym súčtom pre dané delenie. Na príklade f(x) = x³ na [0, 2] s ekvidištančným delením na n dielov a výberom stredov intervalov sa pomocou vzorca pre súčet tretích mocnín vypočíta hodnota 4 − 2/n². Ta konverguje k správnemu obsahu 4 a spĺňa nerovnosti s dolným a horným súčtom z predchádzajúceho videa.

• - Cauchyho integrálny súčet nevyžaduje určovanie maxím a miním na deliacich intervaloch.
• - Výber bodov V: z každého deliaceho intervalu [x_{i−1}, x_i] sa zvolí jeden bod p_i.
• - Definícia: S(f, D, V) = suma f(p_i)·(x_i − x_{i−1}) pre i od 1 po n.
• - Každý Cauchyho súčet leží medzi dolným a horným integrálnym súčtom pre rovnaké f a D.
• - Príklad: f(x) = x³ na [0, 2], ekvidištančné delenie, p_i = (2i − 1)/n, teda stredy intervalov.
• - Súčet nepárnych tretích mocnín sa počíta ako súčet všetkých tretích mocnín po 2n mínus súčet párnych.
• - Výsledok 4 − 2/n² konverguje pre n → ∞ k obsahu 4 a leží medzi dolným a horným súčtom.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.