225. Harmonický rad

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza harmonický rad 1 + 1/2 + 1/3 + … ako špeciálny prípad radu 1/n^p pre p = 1 a dokazuje nielen jeho divergenciu, ale aj rýchlosť rastu čiastočných súčtov. Ukazuje sa, že n-tý čiastočný súčet sa rovná ln n + C + ε_n, kde C je kladná konštanta a ε_n konverguje k nule. Dôkaz využíva Lagrangeovu vetu o strednej hodnote pre funkciu ln x na intervaloch [k, k+1], z čoho vzniknú dvojstranné odhady, ktoré sa sčítajú. Postupnosť h_n = H_n − ln n je tak ohraničená a nerastúca, teda má limitu C. Kladnosť C sa zabezpečí spresnením odhadu pre ln 2.

• - Harmonický rad je rad 1/n^p pre p = 1 a diverguje.
• - Platí H_n = ln n + C + ε_n, kde ε_n → 0 a C > 0.
• - Z Lagrangeovej vety pre ln x na [k, k+1] vyplýva 1/(k+1) < ln(k+1) − ln k < 1/k.
• - Sčítaním nerovností sa logaritmy v strede odčítajú a ostane ln n.
• - Postupnosť h_n = H_n − ln n je nerastúca a ohraničená, preto má limitu C.
• - Kladnosť C vyplýva zo zlepšenia odhadu ln 2 < 0,9, čím C ≤ 0,1 nahradí nulovú možnosť.
• - Čiastočné súčty harmonického radu rastú ako logaritmus, takže ich limita je +∞.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.