244. Prerovnanie mení súčet radu

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje na príklade, že prerovnanie môže zmeniť súčet relatívne konvergentného radu, hoci pri absolútne konvergentnom rade súčet zachováva. Východiskom je alternujúci rad Σ(-1)^(n+1)/n so súčtom ln 2. Jeho členy sa prerovnajú podľa pravidla 4 a 1, teda štyri kladné zlomky s nepárnymi menovateľmi a potom jeden záporný s párnym menovateľom. Čiastočný súčet S_{5n} sa rozdelí na nepárne a párne zlomky a pomocou asymptotiky harmonického radu (ln n + C + ε_n) sa upraví na ln 4 + δ_n, pričom konštanty C vypadnú a δ_n → 0. Ostatné podpostupnosti S_{5n+k} majú rovnakú limitu, takže prerovnaný rad konverguje k ln 4 = 2 ln 2, teda k inému súčtu.

• - Prerovnanie nemení súčet absolútne konvergentného radu, ale pri relatívne konvergentnom rade ho zmeniť môže.
• - Východiskový rad Σ(-1)^(n+1)/n má súčet ln 2.
• - Prerovnanie podľa pravidla 4 a 1: štyri kladné zlomky s nepárnymi menovateľmi, potom jeden záporný s párnym menovateľom.
• - Čiastočný súčet S_{5n} sa zapíše pomocou zlomkov s menovateľmi do 8n a upraví cez asymptotiku harmonického radu ln n + C + ε_n.
• - Konštanty C sa navzájom zrušia a po zlúčení logaritmov vychádza S_{5n} = ln 4 + δ_n, kde δ_n → 0.
• - Podpostupnosti S_{5n+1}, …, S_{5n+4} sa líšia o jediný zlomok idúci k nule, preto majú rovnakú limitu a celý rad konverguje k ln 4 = 2 ln 2.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.