255. Zámena limity a derivácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje, že zámena limity a derivácie je najťažšia zo zámen, pretože samotná rovnomerná konvergencia funkcií nezaručuje zachovanie diferencovateľnosti. Príklad s funkciami f_n(x) = √(x² + 1/n²) ukazuje, že tieto hladké funkcie konvergujú rovnomerne k |x|, ktorá nemá deriváciu v nule; odhad sup|f_n − g| ≤ 1/n to dokazuje. Následne je formulovaná veta: ak f_n majú derivácie na ohraničenom intervale, konvergujú aspoň v jednom bode a ich derivácie konvergujú rovnomerne, potom f_n konvergujú rovnomerne k funkcii g, ktorá je diferencovateľná a platí (lim f_n)' = lim f_n'. Dôkaz sa vynecháva pre jeho náročnosť. Príklad 13 ukazuje, že derivácie f_n'(x) = x/√(x² + 1/n²) konvergujú bodovo k funkcii signum, no nie rovnomerne, keďže supremum rozdielu je aspoň 1 − 1/√2.

• - Rovnomerná konvergencia funkcií nezachováva diferencovateľnosť limity.
• - Protipríklad: f_n(x) = √(x² + 1/n²) konverguje rovnomerne k |x|, ktorá nemá deriváciu v nule.
• - Rovnomernosť sa dokáže odhadom sup|f_n − g| ≤ 1/n, ktorý ide k nule.
• - Veta o zámene: derivácie musia konvergovať rovnomerne a f_n aspoň v jednom bode, vtedy (lim f_n)' = lim f_n'.
• - Derivácie f_n' = x/√(x² + 1/n²) konvergujú bodovo k funkcii signum.
• - Konvergencia derivácií nie je rovnomerná: v bode 1/n je rozdiel 1 − 1/√2 ≈ 0,3.
• - Nerovnomernosť je jasná aj z toho, že spojité funkcie nemôžu rovnomerne konvergovať k nespojitému signu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.