217. Príklad na obsah rovinného útvaru

Zhrnutie prednášky

Príklad ukazuje výpočet obsahu rovinného útvaru ohraničeného dvoma parabolami y = 2 − x² a x = y² − 2, ktoré tvoria útvar v tvare srdca. Keďže priamy výpočet by viedol k rovnici štvrtého stupňa, využíva sa symetria útvaru podľa priamky y = −x a počíta sa obsah iba jednej polovice. Priesečníky paraboly s priamkou y = −x sú pre x = −1 a x = 2, takže integruje sa funkcia 2 + x − x² na intervale ⟨−1, 2⟩. Pomocou Newtonovho–Leibnizovho vzorca vychádza obsah polovice 4,5 a celého srdca 9. Na záver sa výsledok overuje odhadom: obsah musí byť menší ako 16, čo je obsah ohraničujúceho štvorca.

• - Útvar ohraničený parabolami y = 2 − x² a x = y² − 2 má tvar srdca.
• - Obe paraboly sú zhodné a otočené, preto je útvar symetrický podľa priamky y = −x.
• - Priame hľadanie priesečníkov kriviek vedie k rovnici štvrtého stupňa, preto sa hľadá priesečník paraboly s priamkou.
• - Z rovnice 2 − x² = −x vychádzajú priesečníky x = −1 a x = 2, teda integračný interval ⟨−1, 2⟩.
• - Obsah polovice srdca je integrál z (2 + x − x²) od −1 po 2, čo je 4,5.
• - Obsah celého srdca je 9.
• - Výsledok je vhodné overiť odhadom: obsah musí byť menší ako 16, teda ako obsah ohraničujúceho štvorca 4×4.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.