209. Monotónnosť integrálu

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje monotónnosti Riemannovho integrálu, teda tomu, že väčšia funkcia má väčší integrál. Najprv sa dokáže, že integrál nezápornej integrovateľnej funkcie je nezáporný, a to pomocou definície integrálu cez zjemnenia delení a sporom pre záporný integrál. Z toho sa odvodí veta o monotónnosti: ak f ≥ g na intervale ⟨a, b⟩, tak aj ∫f ≥ ∫g, pričom sa využije funkcia h = f − g a linearita integrálu. Ako dôsledok sa dokáže trojuholníková nerovnosť pre integrály |∫f| ≤ ∫|f|, ktorá využíva integrovateľnosť |f| a nerovnosť −|f| ≤ f ≤ |f|. Tento dôsledok bude potrebný pri funkcii hornej hranice.

• - Integrál nezápornej integrovateľnej funkcie je nezáporný (veta 10).
• - Dôkaz vety 10: každý Riemannov integrálny súčet je nezáporný, preto je I + ε > 0 pre všetky ε > 0, a teda I ≥ 0.
• - Monotónnosť integrálu: ak f ≥ g na ⟨a, b⟩, tak ∫f ≥ ∫g (veta 11), bez požiadavky kladnosti funkcií.
• - Dôkaz vety 11: funkcia h = f − g je nezáporná a integrovateľná (linearita), takže ∫f − ∫g ≥ 0.
• - Dôsledok: |∫f| ≤ ∫|f|, čo je zovšeobecnenie trojuholníkovej nerovnosti na nekonečne veľa sčítancov.
• - Dôkaz dôsledku používa vetu (zatiaľ nedokázanú), že z integrovateľnosti f plynie integrovateľnosť |f|, a nerovnosť −|f| ≤ f ≤ |f|.
• - Dôsledok sa využije neskôr pri funkcii hornej hranice.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.