256. Zámena sumy a derivácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje vetu o zámene sumy a derivácie pre rad funkcií. Ak sú všetky členy diferencovateľné na intervale, rad funkcií konverguje aspoň v jednom bode a rad ich derivácií konverguje rovnomerne, tak pôvodný rad konverguje rovnomerne a možno ho derivovať člen po člene. Na príklade radu súčtu x^n/n! pre n od 1 do nekonečna sa overí rovnomerná konvergencia radu derivácií pomocou Weierstrassovho kritéria na intervale (-m, m). Po preindexovaní vyjde pre súčet g rovnica g'(x) = 1 + g(x) s podmienkou g(0) = 0. Substitúciou h = 1 + g a úpravou cez logaritmus vychádza g(x) = e^x − 1 pre všetky reálne x.

• - Veta o zámene sumy a derivácie: pri rovnomernej konvergencii radu derivácií a konvergencii radu funkcií aspoň v jednom bode možno derivovať člen po člene.
• - Záver vety: pôvodný rad konverguje rovnomerne a platí (Σ fn)' = Σ fn'.
• - Rovnomernú konvergenciu radu derivácií stačí overiť na intervale (-m, m) pomocou Weierstrassovho kritéria s majorantou m^(n-1)/(n-1)!.
• - Preindexovaním (k = n − 1) sa rad derivácií zhodne s pôvodným radom, takže g'(x) = 1 + g(x).
• - Substitúcia h(x) = 1 + g(x) vedie na h'/h = 1, teda ln h(x) = x + c.
• - Z podmienky g(0) = 0 vychádza c = 0, a teda Σ x^n/n! = e^x − 1 pre všetky reálne x.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.