112. Rozklad na parciálne zlomky - pokračovanie

Zhrnutie prednášky

Video dokazuje Lemu 3 o rozklade na parciálne zlomky, ktorá je analógiou Lemy 2 pre prípad komplexného nereálneho koreňa. Ak je v menovateli rýdzoracionálnej funkcie P/Q člen (x²+px+q)^m s nerozložiteľným kvadratickým trojčlenom, dá sa oddeliť parciálny zlomok (Bx+C)/(x²+px+q)^m a zvyšok P1/Q1 je opäť rýdzoracionálny s nižším stupňom menovateľa. Na rozdiel od reálneho koreňa tu vzniká sústava dvoch lineárnych rovníc pre B a C, takže treba ukázať jej riešiteľnosť. Dôkaz pomocou delenia polynómov P a R so zvyškom trojčlenom ukazuje, že determinant sústavy je nenulový: pri t = 0 je rovný u², inak vychádza z kladného kvadratického výrazu, lebo diskriminant p² − 4q je záporný. Následne sa čitateľ dá vykrátiť jedným činiteľom a overí sa aj zachovanie rýdzej racionálnosti.

• - Lema 3 oddeľuje jeden parciálny zlomok (Bx+C)/(x²+px+q)^m pre komplexný nereálny koreň.
• - Zvyšok P1/Q1 je rýdzoracionálna funkcia so stupňom Q1 nižším ako stupeň Q.
• - Namiesto jednej lineárnej rovnice pre A vzniká sústava dvoch lineárnych rovníc pre B a C.
• - Polynómy P a R sa delia trojčlenom x²+px+q so zvyškami rx+s a tx+u, pričom t a u nie sú súčasne nulové.
• - Porovnaním koeficientov pri x¹ a x⁰ sa získa sústava, ktorá má riešenie práve vtedy, keď je jej determinant nenulový.
• - Determinant je nenulový: pre t = 0 je u², pre t ≠ 0 je kladný vďaka zápornému diskriminantu p² − 4q.
• - Po vykrátení jednej zátvorky sa rýdzosť zlomku zachová, lebo čitateľ má stále nižší stupeň ako menovateľ.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.