Matematická Analýza 2 - Mocninové rady a Taylorove rady | Prednáška 13 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška najprv dokončuje tvrdenie o preusporiadaní číselných radov: ukazuje, že ľubovoľné preusporiadanie absolútne konvergentného radu je opäť absolútne konvergentný rad s tým istým súčtom, s dôkazom postaveným na Cauchyho-Bolzanovom kritériu. Následne prechádza k mocninovým radom: zavádza pojem mocninového radu so stredom, definuje obor a polomer konvergencie a dokazuje, že z konvergencie v bode z0 vyplýva absolútna konvergencia na intervale (-|z0|,|z0|). Polomer konvergencie sa počíta pomocou podielového a odmocninového kritéria (Cauchy-Hadamardov vzorec) na viacerých príkladoch vrátane vyšetrenia krajných bodov intervalu konvergencie. Ukazuje sa, že súčet mocninového radu možno derivovať a integrovať člen po člene bez zmeny polomeru konvergencie, čo sa využíva na výpočet súčtov konkrétnych radov. Napokon sa zavádza Taylorov (Maclaurinov) rad s koeficientmi f^(n)(0)/n!, definuje sa pojem analytickej funkcie a uvádzajú sa príklady analytických funkcií (e^x, sínus, logaritmus).

• Preusporiadanie absolútne konvergentného radu
• Cauchyho-Bolzanovo kritérium pre rady
• Mocninový rad a jeho stred
• Obor a polomer konvergencie
• Cauchy-Hadamardov vzorec, podielové a odmocninové kritérium
• Derivovanie a integrovanie mocninového radu člen po člene
• Taylorov a Maclaurinov rad
• Analytická funkcia

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.