214. Wallisov vzorec

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje Wallisov vzorec, podľa ktorého limita výrazu (1/(2n+1))·((2n)!!/(2n−1)!!)² pre n→∞ je π/2. Ide o spresnenie nerovnosti z matematickej indukcie z prvého semestra, ktorá hovorí, že tento výraz je väčší ako 1. Dôkaz využíva hodnoty určitých integrálov I_n = ∫₀^{π/2} sinⁿx dx, vypočítané v predchádzajúcom príklade 7, osobitne pre párne a nepárne n. Keďže na intervale ⟨0, π/2⟩ platí sin^{2n+2}x ≤ sin^{2n+1}x ≤ sin^{2n}x, z monotónnosti integrálu vznikne dvojitá nerovnosť pre I_{2n+2}, I_{2n+1} a I_{2n}. Po dosadení a úprave tak, aby v strede stál hľadaný výraz, majú krajné členy limitu π/2 a sendvičová veta dokončí dôkaz.

• - Wallisov vzorec: lim (1/(2n+1))·((2n)!!/(2n−1)!!)² = π/2.
• - Je to spresnenie nerovnosti dokázanej indukciou, že výraz je väčší ako 1.
• - Dôkaz používa integrály I_n = ∫₀^{π/2} sinⁿx dx z príkladu 7 (rôzne vzorce pre párne a nepárne n).
• - Na ⟨0, π/2⟩ platí sin^{2n+2}x ≤ sin^{2n+1}x ≤ sin^{2n}x, takže z monotónnosti integrálu platí I_{2n+2} ≤ I_{2n+1} ≤ I_{2n}.
• - Nerovnosť sa vydelí vhodným výrazom (2n)!!/(2n−1)!!, takže v strede zostane hľadaný výraz.
• - Ľavý krajný člen (2n+1)/(2n+2)·π/2 a pravý krajný člen π/2 majú limitu π/2.
• - Sendvičová veta potom dáva limitu π/2 aj pre stredný výraz.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.