258. Interval konvergencie mocninového radu

Zhrnutie prednášky

Veta o intervale konvergencie mocninového radu tvrdí, že ak rad konverguje v bode B různom od stredu A, konverguje absolútne v každom bode intervalu (A − R, A + R), kde R = |B − A|. Ak naopak diverguje v bode C, diverguje aj vo všetkých bodoch vzdialenejších od A než C. Konvergentná časť sa dokazuje z nutnej podmienky konvergencie: členy a_n(B − A)^n sú ohraničené konštantou M, a preto je rad odhadnutý násobkom geometrického radu s kvocientom |x − A|/|B − A| < 1. Divergentná časť sa dokáže sporom pomocou prvej časti. Dôsledkom sú tri možnosti: rad konverguje iba v strede, konverguje pre všetky reálne x, alebo existuje polomér konvergencie R, pričom v krajných bodoch A ± R treba konvergenciu skúmať osobitne. Všetky tri prípady ilustrujú príklady: exponenciálny rad, rad Σ xⁿ/n a rad Σ nⁿxⁿ.

• - Ak mocninový rad konverguje v bode B ≠ A, konverguje absolútne na intervale (A − R, A + R), kde R = |B − A|.
• - Ak diverguje v bode C ≠ A, diverguje v každom bode, ktorý je od A vzdialenejší než C.
• - Dôkaz konvergencie využíva ohraničenosť členov a_n(B − A)^n a porovnanie s geometrickým radom s kvocientom menším ako 1.
• - Dôkaz divergencie sa robí sporom s využitím prvej časti vety.
• - Pre každý mocninový rad nastane práve jedna možnosť: konverguje len v strede (R = 0), konverguje všade (R = ∞), alebo má kladný polomér konvergencie R.
• - V krajných bodoch A − R a A + R nie je správanie rádu vopred určené a treba ho skúmať osobitne.
• - Príklady: exponenciálny rad konverguje všade, rad Σ xⁿ/n má R = 1 (v −1 konverguje, v 1 diverguje) a rad Σ nⁿxⁿ konverguje len v 0 (Cauchyho kritérium).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.