230. Porovnanie sily kritérií

Zhrnutie prednášky

Prednáška porovnáva silu Cauchyho (odmocninového) a d'Alembertovho (podielového) kritéria konvergencie radov. Pre postupnosť kladných čísel platí reťazec nerovností: lim inf a_{n+1}/a_n ≤ lim inf n-tá odmocnina z a_n ≤ lim sup n-tá odmocnina z a_n ≤ lim sup a_{n+1}/a_n. Ak existuje limita podielu a_{n+1}/a_n rovná L, existuje aj limita n-tej odmocniny z a_n a rovná sa tomu istému L. Z toho vyplýva, že Cauchyho kritérium je silnejšie, pretože rozhodne o konvergencii každého radu, ktorý rozhodne d'Alembertovo, a niekedy aj o ďalších. Dôkaz kľúčovej nerovnosti sa vedie sporom: pri predpoklade p > q sa pomocou odhadu podielov, ich súčinu a odmocnenia ukáže, že od istého indexu sú všetky odmocniny pod p − ε, čo odporuje definícii p. Rovnosť limít plynie zo zhody lim inf a lim sup.

• - Pre postupnosť kladných čísel platí reťazec nerovností medzi lim inf a lim sup podielu a odmocniny.
• - Ak existuje limita a_{n+1}/a_n = L, existuje aj limita n-tej odmocniny z a_n a je rovná L.
• - Cauchyho kritérium je silnejšie: čo určí d'Alembertovo, určí aj Cauchyho, opačne to neplatí.
• - Silnejšie neznamená ľahšie počítateľné; odmocninu môže byť ťažšie vyčísliť ako podiel.
• - Dôkaz sporom: pri p > q sa zvolí ε = (p − q)/3 a využije sa odhad a_{m+k} ≤ a_m (q+ε)^k.
• - Po odmocnení a limite vychádza, že lim sup odmocnín je ≤ p − ε, čo je spor s definíciou p.
• - Špeciálny prípad limity vyplýva z toho, že pri rovnosti lim inf a lim sup krajných členov sú rovnaké aj stredné členy.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.