118. Klasické substitúcie 3

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje tretí spôsob výpočtu primitívnej funkcie ∫√(1+x²) dx pomocou Eulerovej substitúcie √(1+x²) = t − x. Na rozdiel od goniometrickej a hyperbolickej substitúcie nezavádza novú funkciu, ale pracuje priamo s odmocninovým výrazom. Po umocnení sa x² vykráti, takže x = (t²−1)/(2t) je racionálna funkcia premennej t, a rovnako aj dx a samotná odmocnina. Integrál sa tak zmení na integrál racionálnej funkcie, ktorý sa rozloží na tri jednoduché časti. Spätný návrat je ľahký, keďže t = x + √(1+x²). Výsledok ½·x·√(1+x²) + ½·ln(x + √(1+x²)) + C je zhodný s predošlými riešeniami, no postup je kratší.

• - Eulerova substitúcia √(1+x²) = t − x odstraňuje odmocninu bez zavedenia novej funkcie.
• - Po umocnení sa x² vykráti, takže x = (t²−1)/(2t) je racionálna funkcia t.
• - Aj dx = (t²+1)/(2t²) dt a odmocnina t − x = (t²+1)/(2t) sú racionálne v t.
• - Integrál sa prevedie na ¼∫(t⁴+2t²+1)/t³ dt, ktorý sa rozdelí na tri jednoduché integrály.
• - Inverzná funkcia je hneď známa: t = x + √(1+x²).
• - Výsledok: ½·x·√(1+x²) + ½·ln(x + √(1+x²)) + C, rovnaký ako v predošlých riešeniach.
• - Existujú tri druhy Eulerových substitúcií, užitočné pri integráloch z odmocninových funkcií.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.