238. Príklady na Leibnitzovo kritérium

Zhrnutie prednášky

Prednáška rieši dva príklady na Leibnizovo kritérium pre alternujúce rady. V prvom sa ukazuje, že alternujúci harmonický rad Σ(-1)^(n+1)/n konverguje, a jeho súčet sa určuje pomocou odhadu čiastočných súčtov harmonického radu H_n = ln n + c + ε_n. Z neho vychádza lim S_2n = ln 2, rovnaká limita platí aj pre nepárne čiastočné súčty, takže súčet radu je ln 2. Druhý príklad ukazuje, že predpoklad monotónnosti je nevyhnutný: rad Σ(-1)^(n+1)(2+(-1)^(n+1))/n má členy bez znamienka klesajúce k nule, no nie monotónne, a diverguje. Dôkaz sporom odčíta konvergentný rad Σ(-1)^(n+1)·2/n a vznikne divergentný harmonický rad.

• - Alternujúci harmonický rad konverguje podľa Leibnizovho kritéria, lebo 1/n klesá a má limitu 0.
• - Využíva sa odhad H_n = ln n + c + ε_n, kde ε_n → 0.
• - Pre párne čiastočné súčty S_2n = H_2n − H_n, preto lim S_2n = ln 2.
• - Nepárne čiastočné súčty sa líšia o člen 1/(2n+1) → 0, takže majú tú istú limitu a súčet radu je ln 2.
• - Rad Σ(-1)^(n+1)(2+(-1)^(n+1))/n má členy s limitou 0, ale nie monotónne, a diverguje.
• - Divergencia sa dokáže sporom: rozdiel s konvergentným radom Σ(-1)^(n+1)·2/n by dal konvergentný harmonický rad.
• - Pri použití Leibnizovho kritéria sa nesmie vynechať overenie monotónnosti; jej nesplnenie však automaticky neznamená divergenciu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.