210. Stredná hodnota integrálu

Zhrnutie prednášky

Prednáška uvádza vetu o strednej hodnote integrálu pre riemannovsky integrovateľné funkcie f a g, kde g je nezáporná a f je ohraničená konštantami m a M. Veta tvrdí, že integrál súčinu fg leží medzi m a M násobkami integrálu g, a preto existuje číslo μ z intervalu <m, M> také, že ∫fg = μ·∫g. Ak je f navyše spojitá, existuje bod s z intervalu <a, b>, v ktorom ∫fg = f(s)·∫g. Dôkaz využíva monotónnosť integrálu, rozlíšenie prípadov nulového a kladného integrálu g a darbouxovskú vlastnosť spojitých funkcií. Pre g = 1 vzniká integrálna stredná hodnota funkcie f, ktorá geometricky zodpovedá výške obdĺžnika s rovnakým obsahom ako krivočiary lichobežník. Na príklade sa veta použije na odhad integrálu ∫₀¹ x²⁰²⁰/∛(1+7x⁴) dx medzi 0,0002 a 0,0005.

• - Veta o strednej hodnote: ak m ≤ f ≤ M a g ≥ 0, tak m∫g ≤ ∫fg ≤ M∫g.
• - Existuje μ z intervalu <m, M> také, že ∫fg = μ·∫g.
• - Pre spojitú f existuje s z <a, b>, pre ktoré ∫fg = f(s)·∫g (darbouxovská vlastnosť).
• - Dôkaz prvej nerovnosti vychádza z vynásobenia nerovnosti nezápornou funkciou g a z monotónnosti integrálu.
• - Pre g = 1 vychádza integrálna stredná hodnota μ = 1/(b−a)·∫f, čo je výška obdĺžnika s rovnakým obsahom ako plocha pod grafom.
• - V dôkaze druhého tvrdenia sa rozlišuje prípad ∫g = 0 a ∫g > 0, kde sa definuje μ ako podiel integrálov.
• - Príklad: pre g = x²⁰²⁰ a f ∈ <1/2, 1> vyplýva odhad 0,0002 ≤ ∫₀¹ x²⁰²⁰/∛(1+7x⁴) dx ≤ 0,0005.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.