263. Náročnejší príklad na Abelovu vetu

Zhrnutie prednášky

Príklad ukazuje použitie Abelovej vety na výpočet súčtu radu 1 − 1/4 + 1/7 − 1/10 + … = Σ (−1)^n/(3n+1). Z radu sa vytvorí mocninový rad f(x) = Σ (−1)^n x^(3n+1)/(3n+1) s polomerom konvergencie 1. Jeho derivácia je geometrický rad so súčtom 1/(1+x³) na intervale (−1, 1). Táto funkcia sa integruje pomocou rozkladu na parciálne zlomky, substitúcií a arkustangensu, pričom integračná konštanta sa určí z podmienky f(0) = 0. Keďže rad konverguje aj v bode x = 1 (Leibnizovo kritérium), Abelova veta zaručuje spojitosť v tomto bode, a teda súčet je f(1) = (ln 2)/3 + π√3/9.

• - Hľadaný súčet je rad Σ (−1)^n/(3n+1), ktorý sa zavedie ako hodnota mocninového radu f(x) v bode x = 1.
• - Interval konvergencie je (−1, 1), v bode 1 rad konverguje podľa Leibnizovho kritéria, takže Abelova veta dovoľuje dosadiť x = 1.
• - Derivovaním člen po člene vznikne geometrický rad so súčtom 1/(1+x³).
• - Funkcia 1/(1+x³) sa integruje rozkladom na parciálne zlomky a substitúciami, čo dáva logaritmy a arkustangens.
• - Integračná konštanta sa určí z podmienky f(0) = 0.
• - Výsledok je f(1) = (ln 2)/3 + π√3/9, pričom sa využije arctg(1/√3) = π/6.
• - Bez Abelovej vety by bolo presné určenie súčtu takéhoto radu veľmi ťažké.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.