232. Raabeho kritérium

Zhrnutie prednášky

Raabeho kritérium je silnejšie než d'Alembertovo a používa sa vtedy, keď d'Alembertova limita vychádza 1. Pre rad s kladnými členmi sleduje výraz n·(a_n/a_{n+1} − 1): ak je jeho limes inferior väčší ako 1, rad konverguje, a ak je od istého indexu najviac 1, rad diverguje. Limitná verzia hovorí o konvergencii pre k > 1 a divergencii pre k < 1, pričom pre k = 1 kritérium nerozhoduje. Divergencia sa dokazuje postupným násobením nerovností, čím sa rad zdola odhadne zvyškom harmonického radu. Konvergencia sa dokazuje teleskopickým sčítaním upravených nerovností, z ktorých vyplýva ohraničenosť čiastočných súčtov hodnotou r·a₁/(r−1).

• - Raabeho kritérium sa používa, keď d'Alembertovo kritérium dáva limitu 1.
• - Skúma sa výraz n·(a_n/a_{n+1} − 1) pre rad s kladnými členmi.
• - Ak je limes inferior väčší ako 1, rad konverguje; ak je výraz od istého n₀ najviac 1, rad diverguje.
• - Limitná verzia: k > 1 konverguje, k < 1 diverguje, k = 1 nerozhoduje.
• - Dôkaz divergencie: súčin nerovností dáva odhad a_{n+k} ≥ n·a_n/(n+k), teda zdola zvyšok harmonického radu.
• - Dôkaz konvergencie: teleskopické sčítanie nerovností dáva S_n ≤ r·a₁/(r−1), teda ohraničený rastúci rad konverguje.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.